志第十八下历四下
○六曰步交会术
终数八亿二千七百二十五万一千三百二十二。
交终日二十七,余六百四十五,秒千三百二十二。
中日十三,余千八百四十二,秒五千六百六十一。
朔差日二,余九百六十七,秒八千六百七十八。
望差日一,余四百八十三,秒九千三百三十九。
望数日十四,余二千三百二十六,秒五千。
交限日十二,余千三百五十八,秒六千三百二十二。
交率三百四十三。
交数四千三百六十九。
交秒法一万。
以交数去朔积分;不尽,以秒法乘之,盈交数又去之;余如秒法而一,为入交分。满通法为日,命日算外,得天正经朔时加入交泛日及余。因加朔差,得次朔。以望数加朔,得望。若以经朔望小余减之,各得夜半所入。累加一日,得次日。加之满交终,去之。各以其日入气朓朒定数,朓减、朒加入交泛,为入交常日及余。又以交率乘其日入转朓朒定数,如交数而一,而朓减、朒加入交常,为入交定日及余。各如中日已下者,为月入阳历;已上者,去之,余为月入阴历。
○阴阳历
以其爻加减率与后爻加减率相减,为前差。又以后爻率与次后爻率相减,为后差。二差相减,为中差。置所在爻并后爻加减率,半中差以加而半之,十五而一,为爻末率,因为后爻初率。每以本爻初、末率相减,为爻差。十五而一,为度差。半之,以加减初率,少象减之,老象加之。为定初率。每以度差累加减之,少象以差减,老象以差加。各得每岁加减定分。乃循积其分,满百二十为度,各为月去黄道数及分。其四象初爻无初率,上爻无末率,皆倍本爻加减率,十五而一。所得各以初、末率减之,皆互得其率。
各置夜半入转,以夜半入交定日及余减之,不足减,加转终。余为定交初日夜半入转。乃以定交初日与其日夜半入余,各乘其日转定分,如通法而一,为分。满转法,为度。各以加其日转积度分,乃相减,所余为其日夜半月行入阴阳度数。转求次日,以转定分加之。以一象之度九十除之,若以少象除之,则兼除差度一、度分百六、大分十三、小分十四。讫,然后以次象除之。所得以少阳、老阳、少阴、老阴为次,起少阳算外,得所入象度数及分。先以三十乘阴阳度分,十九而一,为度分。不尽,以十五乘、十九除,为大分。不尽者,又乘、又除,为小分。然后以象度及分除之。乃以一爻之度十五除之,所得入爻度数及分。其月行入少象初爻之内及老象上爻之中,皆沾黄道。当朔望,则有亏蚀。
凡入交定如望差已下,交限已上,为入蚀限;望入蚀限,则月蚀。朔入蚀限,月在阴历,则日蚀。如望差已下,为交后。交限已上,以减交中,余为交前。置交前、后定日及余,通之,为去交前、后定分。十一乘之,二千六百四十三除,为去交度数。不尽,以通法乘之,复除为余。大抵去交十三度已上,虽入蚀限,为涉交数微,光景相接,或不见蚀。望去交分七百七十九已下者,皆既。已上者,以定交分减望差,余以百八十三约之,命以十五为限,得月蚀之大分。
月在阴历,初起东南,甚于正南,复于西南;月在阳历,初起东北,甚于正北,复于西北。其蚀十二分已上者,起于正东,复于正西。此据午正而论之。余各随方面所在,准此取正。
凡月蚀之大分五已下,因增三。十已下,因增四。十已上,因增五。其去交定分五百二十已下,又增半。二百六十已下,又增半。各为泛用刻率。
以所入气并后气增损差,倍六爻乘之,综两气辰数除之,为气末率。又列二气增损差,皆倍六爻乘之,各如辰数而一;少减多,余为气差。加减末率冬至后以差减,夏至后以差加。为初率。倍气差,综两气辰数除,为日差。半之,加减初、末,为定率。以差累加、减气初定率,冬至后以差加,夏至后以差减。为每日增损差。乃循积之,随所入气日增损气下差积,各其日定数。其二至之前一气,皆后无同差,不可相并,各因前末为初率。以气差冬至前减、夏至前加,为末率。
阴历蚀差千二百七十五,蚀限三千五百二十四,或限三千六百五十九。阳历蚀限百三十五,或限九百七十四。以蚀朔所入气日下差积,阴历减之,阳历加之,各为蚀定差及定限。朔在阴历,去交定分满蚀定差已上者,为阴历蚀。不满者,虽在阴历,皆类同阳历蚀。其去交定分满定限已下者,的蚀。或限已下者,或蚀。
阴历蚀者,置去交定分,以蚀定差减之,余百四已下者,皆蚀既。已上者,以百四减之。余以百四十三约之。其入或限者,以百五十二约之。半已下,为半弱。半已上,为半强。以减十五,余为日蚀之大分。其同阳历蚀者,其去交定分少于蚀定差六十已下者,皆蚀既。已上者,以阳历蚀定限加去交分,以九十约之。其阳历蚀者,置去交定分,亦以九十约之。入或限者,以百四十三约之。皆半已下,为半弱。半已上,为半强。命之,以十五为限,得日蚀之大分。
月在阴历,初起西北,甚于正北,复于东北。月在阳历,初起西南,甚于正南,复于东南。其蚀十二分已上,皆起于正西,复于正东。
凡日蚀之大分,皆因增二。其阴历去交定分多于蚀定差七十已上者,又增;三十五已下者,又增半。其同阳历去交定分少于蚀定差二十已下者,又增半;四已下者,又增少。各为泛用刻率。
置去交定分,以交率乘之,二十乘交数除之;其月道与黄道同名者,以加朔望定小余:异名者,以减朔、望定小余:为蚀定余。如求发敛加时术入之,得蚀甚辰刻。各置泛用刻率,副之。以乘其日入转损益率,如通法而一。所得应朒者,依其损益;应朓者,损加、益减其副:为定用刻数。半之,以减蚀甚辰刻,为亏初;以加蚀甚辰刻,为复末。其月蚀,置定用刻数,以其日每更差刻除,为更数。不尽,以每筹差刻除,为筹数。综之为定用更筹。乃累计日入后至蚀甚辰刻,置之,以昏刻加日入辰刻减之,余以更筹差刻除之。所得命以初更筹算外,得蚀甚更筹。半定用更筹减之,为亏初;加之,为复末。按天竺俱摩罗所传断日蚀法,日躔郁车宫者,的蚀。其余据日所在宫,火星在前三及后五之宫,并伏在日下,则不蚀。若五星皆见,又水在阴历及三星已上同聚一宿,则亦不蚀。凡星与日别宫或别宿则易断,若同宿则难。天竺所云十二宫,即中国之十二次。郁车宫者,降娄之次也。
九服之地,蚀差不同。先测其地二至及定春秋分中晷长短,与阳城每日中晷常数较取同者,各因其日蚀差为其地二至及定春秋分蚀差。以夏至差减春分差,以春分差减冬至,各为率。并二率,半之,六而一,为夏率。二率相减,六而一,为总差。置总差,六而一,为气差。半气差,以加夏率,又以总差减之,为冬率。冬率即冬至率。每以气差加之,各为每气定率。乃循积其率,以减冬至蚀差,各得每气初日蚀差。求每日,如阳城法求之。若戴日之南,当计所在地,皆反用之。
○七曰步五星术
△岁星
终率百二十一万二千五百七十九,秒六。
终日三百九十八,余二千六百五十九,秒六。
变差三十四,秒十四。
象算九十一,余二百三十八,秒五十七,微分十二。
爻算十五,余百六十六,秒四十二,微分八十二。
△荧惹
终率二百三十七万一千三,秒八十六。
终日七百七十九,余二千八百四十三,秒八十六。
变差三十二,秒二。
象算九十一,余二百三十八,秒四十三,微分八十四。
爻算十五,余百六十六,秒四十,微分六十二。
△镇星
终率百一十四万九千三百九十九,秒九十八。
终日三百七十八,余二百七十九,秒九十八。
变差二十二,秒九十二。
象算九十一,余二百三十七,秒八十七。
爻算十五,余百六十六,秒三十一,微分十六。
△太白
终率百七十七万五千三十,秒十二。
终日五百八十三,余二千七百一十一,秒十二。
中合日二百九十一,余二千八百七十五,秒六。
变差三十,秒五十三。
象算九十一,余二百三十八,秒三十四,微分五十四。
爻算十五,余百六十六,秒三十九,微分九。
△辰星
终率三十五万二千二百七十九,秒七十二。
终日百一十五,余二千六百七十九,秒七十二。
中合日五十七,余二千八百五十九,秒八十六。
变差百三十六,秒七十八。
象算九十一,余二百四十四,秒九十八,微分六十。
爻算十五,余百六十七,秒四十九,微分七十四。
辰法七百六十。
秒法一百。
微分法九十六。
置中积分,以冬至小余减之,各以其星终率去之,不尽者,返以减终率;余满通法为日,得冬至夜半后平合日算。各以其星变差乘积算,满干实去之;余满通法,为日。以减平合日算,得入历算数。皆四约其余,同于辰法。及以一象之算除之,以少阳、老阳、少阴、老阴为次,起少阳算外。余以一爻之算除之;所得命起其象初爻算外,得外入爻算数。
○五星爻象历
以所入爻与后爻损益率相减,为前差;又以后爻与次后爻损益率相减,为后差;二差相减,为中差。置所入爻并后爻损益率,半中差以加之,九之,二百七十四而一,为爻末率,因为后爻初率。皆因前爻末率,以为后爻初率。初、末之率相减,为爻差。倍爻差,九之,二百七十四而一,为算差。半之,加减初、末,各为定率。以算差累加、减爻初定率,少象以差减,老象以差加。为每算损益率。循累其率,随所入爻损益其下进退积,各得其算定数。其四象初爻无初率,上爻无末率,皆置本爻损益率四而九之,二百七十四得一,各以初、末率减之,皆互得其率。
各置其星平合所入爻之算差,半之,以减其入算损益率。损者,以所入余乘差,辰法除,并差而半之;益者,半入余,乘差,亦辰法除:皆中所减之率。乃以入余乘之,辰法而一。所得以损益其算下进退,各为平合所入定数。
置进退定数,金星则倍置之。各以合下乘数乘之,除数除之。所得满辰法为日,以进加、退减平合日算,先以四约平合余,然后加减。为常合日算。
置常合日先后定数,四而一,以先减、后加常合日算,得定合日算。又四约盈缩分,以定合余乘之,满辰法而一。所得以盈加、缩减其定余,加其日夜半日度,为定合加时星度。
又置定合日算,以冬至大小余加之,天正经朔大小余减之。其至朔小余,皆先以四约之。若大余不足减,又以爻数加之,乃减之。余满四象之策除,为月数。不尽者,为入朔日算。命月起天正、日起经朔算外,得定合月、日。视定朔与经朔有进退者,亦进减、退加一日为定。
置常合及定合应加减定数,同名相从,异名相消;乃以加减其平合入爻算,满若不足,进退爻算,得定合所入。乃以合后诸变历度累加之,去命如前,得次变初日所入。如平合求进退定数,乃以乘数乘之,除数除之,各为进退变率。
五星变行日中率、度中率、差行损益率、历度乘数、除数
○岁星
合后伏:十七日三百三十二分,行三度三百三十二分。先迟,二日益疾九分。历,一度三百五十七分。乘数三百五十,除数二百八十一。
前顺:百一十二日,行十八度六百五十六分。先疾,五日益迟六分。历,九度三百三十七分。乘数三百五十,除数二百八十一。
前留:二十七日。历,二度二百二十分。乘数二百六十七,除数二百二十一。
前退:四十三日,退五度三百六十九分。先迟,六日益疾十一分。历,三度四百七十五分。乘数四百七十,除数四百三。
后退:四十三日,退五度三百六十九分。先迟,六日益迟十一分。历,三度四百七十五分。乘数五百一十,除数四百六十七。
后留:二十七日。历,三度二百一十分。乘数二百七十,除数二百二十二。
后顺:百一十二日,行十八度六十五分。先迟,五日益疾六分。历,九度三百三十七分。乘数二百六十七,除数二百二十七。
合前伏:十七日三百三十二分,行三度三百三十二分。先疾,二日益迟九分。历,一度三百五十八分。乘数三百五十,除数二百八十一。
○荧惑
合后伏:七十一日七百三十五分,行五十四度七百三十五分。先疾,五日益迟七分。历,三十八度二百一分。乘数百二十七,除数三十。
前疾:二百一十四日,行百三十六度。先疾,九日益迟四分。历,百一十三度五百九十六分。乘数百二十七,除数三十。
前迟:六十日,行二十五度。先疾,日益迟四分。历,三十一度六百八十五分。乘数二百三,除数五十四。
前留:十三日,历,六度六百九十三分。乘数二百三,除数五十四。
前退:三十一日,退八度四百七十三分。先迟,六日益疾五分。历,十六度三百六十七分。乘数二百三,除数四十八。
后退:三十一日,退八度四百七十三分。先疾,六日益迟五分。历,十六度三百六十七分。乘数二百三,除数四十八。
后留:十三日。历,六度六百九十三分。乘数二百三,除数四十八。
后迟:六十日,行二十五度。先迟,日益疾四分。历,三十一度六百八十五分。乘数二百三,除数五十四。
后疾:二百一十四日,行百三十六度。先迟,九日益疾四分。历,百一十三度五百九十六分。乘数二百三,除数五十四。
合前伏:七十一日七百三十六分,行五十四度七百三十六分。先迟,五日益疾七分。历,三十八度二百一分。乘数百二十七,除数三十。
○镇星
合后伏:十八日四百一十五分,行一度四百一十五分。先迟,二日益疾九分。历,四百八十分。乘数十二,除数十一。
前顺:八十三日,行七度二百四十一分。先疾,六日益迟五分。历,二度六百二十三分。乘数十二,除数十一。
前留:三十七日三百八十分。历,一度二百八分。乘数十,除数九。
前退:五十日,退二度三百三十四分。先迟,七日益疾一分。历,一度五百三十一分。乘数二十,除数十七。
后退:五十日,退二度三百三十四分,先疾,七日益迟一分。历,一度五百三十一分。乘数五,除数四。
后留:三十七日三百八十分。历,一度二百八分。乘数二十,除数一十七。
后顺:八十三日,行七度二百四十一分。先迟,六日益疾五分。历,二度六百二十三分。乘数十,除数九。
合前伏:十八日四百一十五分,行一度四百一十五分。先疾,二日益迟九分。历,四百八十分。乘数十二,除数十一。
○太白
晨合后伏:四十一日七百一十九分,行五十二度七百一十九分。先迟,三日益疾十六分。历,四十一度七百一十九分。乘数七百九十七,除数二百九。
夕疾行:百七十一日,行二百六度。先疾,五日益迟九分。历,百七十一度乘数七百九十七,除数二百九。
夕平行:十二日,行十二度。历,十二度。乘数五百一十五,除数百五十六。
夕迟行:四十二日,行三十一度,先疾,日益迟十分。历,四十二度。乘数五百一十五,除数百三十七。
夕留:八日。历,八度。乘数五百一十五,除数九十二。
夕退:十日,退五度。先迟,日益疾九分。历,十度。乘数五百一十五,除数八十六。
夕合前伏:六日,退五度。先疾,日益迟十五分。历,六度。乘数五百一十五,除数八十四。
夕合后伏:六日,退五度。先迟,日益疾十五分。历,六度。乘数五百一十五,除数八十三。
晨退:十日,退五度。先疾,日益迟九分。历,十度。乘数五百一十五,除数八十四。
晨留:八日,历八度。乘数五百一十五,除数八十六。
晨迟行:四十二日,行三十一度。先迟,日益疾十分。历,四十二度。乘数五百一十五,除数九十二。
晨平行:十二日,行十二度。历,十二度。乘数五百一十五,除数百三十七。
晨疾行:百七十一日,行二百六度。先迟,五日益疾九分。历,百七十一度。乘数五百一十五,除数百五十六。
晨合前伏:四十一日七百一十九分,行五十二度七百一十九分。先疾,三日益迟十六分。历,四十一度七百一十九分。乘数七百九十七,除数二百九。
○辰星
晨合后伏:十六日七百一十五分,行三十三度七百一十五分。先迟,日益疾二十二分。历,十六度七百一十五分。乘数二百八十六,除数二百八十七。
夕疾行:十二日,行十七度。先疾,日益迟五十分。历,十二度。乘数二百八十六,除数二百八十七。
夕平行:九日,行九度。历,九度。乘数四百九十五,除数百九十四。
夕迟行:六日,行四度。先疾,日益迟七十六分。历,六度。乘数四百九十六,除数百九十五。
夕留:三日。历,三度。乘数四百九十七,除数百九十六。
夕合前伏:十一日,退六度。先迟,日益疾三十一分。历,十一度。乘数四百九十八,除数百九十七。
夕合后伏:十一日,退六度。先疾,日益迟三十一分。历,十一度。乘数五百,除数百九十八。
晨留:三日。历,三度。乘数四百九十八,除数百九十八。
晨迟行:六日,行四度。先迟,日益疾七十六分。历,六度。乘数四百九十七,除数百九十六。
晨平行:九日,行九度。历,九度。乘数四百九十六,除数百九十五。
晨疾行,十二日,行十七度。先迟,日益疾五十分。历,十二度。乘数四百九十二,除数百九十四。
晨合前伏:十六日七百一十五分,行三十三度七百一十五分。先疾,日益迟二十二分。历,十六度七百一十五分。乘数二百八十六,除数二百八十七。
各置其本进退变率与后变率。同名者,相消为差。在进前少,在退前多,各以差为加;在进前多,在退前少,各以差为减。异名者,相从为并。前退后进,各以并为加;前进后退,各以并为减。逆行度率则反之。皆以差及并,加、减日度中率,各为日度变率。其水星疾行,直以差、并加、减度中率,为变率。其日直因中率为变率,勿加、减也。
以定合日与前疾初日、后疾初日与合前伏初日先后定数,各以同名者相消为差,异名者相从为并。皆四而一。所得满辰法,各为日度。乃以前日度盈加、缩减其合后伏度之变率及合前伏、前疾日之变率,亦以后日度盈减、缩加其后疾日之变率及合前伏、前疾度之变率。金水夕合,反其加减。留退亦然。其二留日之变率,若差于中率者,即以所差之数为度,各加、减本迟度之变率。谓以所多于中率之数加之,少于中率之数减之。已下加、减准此。退行度之变率,若差于中率者,即倍所差之数,各加、减本疾度之变率。其土、木二星,既无迟、疾,即加、减前、后顺行度之变率。其水星疾行度之变率,若差于中率者,即以所差之数为日,各加、减留日变率。其留日变率若少不足减者,即侵减迟日变率;若多于中率者,亦以所多之数为日,以加留日变率。各加、减变率讫,皆为日度定率。其日定率有分者,前后辈之。辈,配也,以少分配多分,满全为日。有余转配其诸变率。不加减者,皆依变率为定率。
置其星定合余,以减辰法;余以其星初日行分乘之,辰法而一,以加定合加时度,得定合后夜半星度及余。自此各依其星计日行度,所至皆从夜半为始。各以一日所行度分顺加、退减之。其行有小分者,各满其法从行分。伏不注度,留者因前,退则依减。顺行出虚,去六虚之差。退行入虚,先加此差。六虚之差,亦四而一,乃用加减。讫,皆以转法约行分,为度分,得每日所至。日度定率,或加或减,益疾益迟,每日渐差,不可预定。今且略据日度中率,商量置之。其定率既有盈缩,即差数合随而增损,当先检括诸变定率与中率相较近者因用其差,求其初、末之日行分为主。自余诸变,因此消息,加、减其差,各求初、末行分。循环比较,使际会参合,衰杀相循。其金、水皆以平行为主,前后诸变,准此求之。其合前伏,虽有日度定率,因加至合而与后算不叶者,皆从后算为定。其初见伏之度,去日不等,各以日度与星辰相较。木去日十四度,金十一度,火、土、水各十七度皆见。各减一度,皆伏。其木、火、土三星,前顺之初,后顺之末,及金、水疾行、留、退初、末,皆是见、伏之初日,注历消息定之。金、水及日、月度,皆不注分。
置日定率减一,以所差分乘之,为实。以所差日乘定日率,为法。实如法而一,为行分,得每日差。以辰法通度定率,从其分,如日定率而一,为平行度分。减日定率一,以所差分乘之,二而一,为差率。以加、减平行分,益疾者,以差率减平行为初日,加平行为末日;益迟者,以差率加平行为初日,减平行为末日。得初、末日所行度及分。其差不全而与日相合者,先置日定率减一,以所差分乘之,为实。倍所差日,为法。实如法而一,为行分。不尽者,因为小分。然后为差率。
置初日行分,益迟者,以每日差累减之;益疾者,以每日差累加之:得次日所行度分。其每日差及初日行,皆有小分。母既不同,当令同之,乃用加、减。
其先定日数而求度者,减所求日一,以每日差乘之,二而一。所得以加、减初日行分,益迟减之,益疾加之。以所求日乘之,如辰法而一,为度。不尽者,为行分,得从初日至所求日积度及分。
若先定度数而返求日者,以辰法乘所求行度。有分者,从之。八之,如每日差而一,为积。倍初日行分,以每日差加、减之,益迟者加之,益疾者减之。如每日差而一,为率。令自乘,以积加、减之。益迟者以积减之,益疾者以积加之。开方除之,所得以率加、减之。益迟者以率加之,益疾者以率减之。乃半之,得所求日数。开方除者,置所开之数为实。借一算于实之下,名曰下法。步之,超一位。置商于上方,副商于下法之上,名曰方法。命上商以除实。毕,倍方法一折,下法再折。乃置后商于下法之上,名曰隅法。副隅并方。命后商以除实。毕,隅从方法折下,就除如前开之。
五星前变,入阳爻,为黄道北;入阴爻,为黄道南。后变,入阳爻,为黄道南;入阴爻,为黄道北。其金、水二星,以夕为前变,晨为后变。各计其变行,起初日入爻之算,尽老象上爻未算之数。不满变行度常率者,因置其数以变行日定率乘之,如变行度常率而一,为日。其入变日数与此日数已下者,星在道南北依本所入阴阳爻为定。过此日数之外者,南北返之。
《九执历》者,出于西域。开元六年,诏太史监瞿坛悉达译之。断取近距,以开元二年二月朔为历首。度法六十。月有二十九日,余七百三分日之三百七十三。历首有朔虚分百二十六。周天三百六十度,无余分。日去没分九百分度之十三。二月为时,六时为岁。三十度为相,十二相而周天。望前曰白博义;望后曰黑博义。其算皆以字书,不用筹策。其术繁碎,或幸而中,不可以为法。名数诡异,初莫之辩也。陈玄景等持以惑当时,谓一行写其术未尽,妄矣。
